برنامه درسی

عالیت کلاسی

آزمون کوییز از هر فصل

پروژه دو تا 4 نفره ارایه در آخر ترم 10 دقیقه
آزمون پایانترم

سخنرانی، پرسش و پاسخ استفاده از اسلاید و نرم افزارهای متلب و میپل

1- آنالیز عددی، Richard L. Brdon, J. Doglas Fires, Albert C. Reinolds :. نویسندگان1
مترجمین: علی اکبرعالم زاده ، اسماعیل بابلیان و محمد رضا امیدوار
.2روش های محاسبات عددی(برای ریاضیات علوم مهندسی،) نویسنده: John H, Mthews؛ مترجم: فائزه توتونیان
3- جبر خطی عددی نویسنده: دکتر داود خجسته سالکویه انتشارات جهاد دانشگاهی واحد استان گیلان

هفته اول: مروری بر مقدمات جبر خطی شامل فضاهای برداری، استقلال خطی،

هفته دوم: پایه و فضاهای برداری و ماتریسی، ضرب داخلی ، انواع نرمها؛

هفته سوم:  امتحان کوییز، 

هفته چهارم: حل دستگاه معادلات خطی، تجزیه ، برداری و ماتریسی LUمحور گیریهای جزیی و کلی و پایداری تجزیه LUحساسیت دستگاههای خطی

هفته ششم: و TLLماتریس های مربعی، معین مثبت، تحلیل خطای و هزینه محاسباتی و تعداد عملیاتی محاسباتی،

هفته هفتم:  عددحالت، و حل دستگاههای خطی پایداری روش گوس با انتخاب محور،

هفته هشتم:  امتحان کوییز،  روش های تکراری برای حل دستگا های خطی شامل ژاکوبی، گوس، سایدل،

هفته نهم: روش تعیین ضرایب نامعین، روش تغییر پارامتر، معادلات کوشی-اویلر مرتبه دو و بالاتر، حل چند مثال.

هفته دهم: روش تخفیف تجزیه قائم QR ،

هفته یازدهم:  حل مسئله کمترین مربعات خطی و برازش داده ها

هفته یازدهم:  امتحان کوییز، مقادیر ویژه و بردارهای ویژه

هفته دوازدهم: حاسبه مقادیر ویژه از روش های توانی

هفته سیزدهم:   QR

هفته پانزدهم: روش ژاکوبی و روش هاوس هولدر.

هفته شانزدهم: روش گیونز 

طرح و تحلیل الگوریتم های محاسباتی برای مسائل جبر خطی با تاکید بر کارایی و پایداری الگوریتم ها
 

فعالیت کلاسی

آزمون کوییز از هر فصل

پروژه دو تا 4 نفره ارایه در آخر ترم 10 دقیقه
آزمون پایانترم

1-معادلات دیفرانسیل 

مولف : اصغر کرایه چیان

2-معادلات دیفرانسیل مقدماتی و مسائل مقدار مرزی

مولف : ویلیام بویس

مترجم : محمد رضا سلطان پور - بیژن شمس

هفته اول: ﻣﻌﺮﻓﻲ ﻣﻌﺎﺩﻻﺕ ﺩﻳﻔﺮﺍﻧﺴﻴﻞ، ﺩﺭﺟﻪ ﻭ ﻣﺮﺗﺒﻪ ﻣﻌﺎﺩﻟﻪ، ﺗﺸﻜﻴﻞ ﻣﻌﺎﺩﻟﻪ ﺩﻳﻔﺮﺍﻧﺴﻴﻞ، مساله مقدار اولیه و مقدار مرزی، ﺟﻮﺍﺏ ﻣﻌﺎﺩﻟﻪ، جواب عمومی و خصوصی معادله، جواب منفرد.

هفته دوم: معادلات دیفرانسیل مرتبه اول، قضیه وجود و یکتایی جواب، شکل استاندارد معادلات، معادلات تفکیک پذیر، معادلات همگن، حل چند مثال.

هفته سوم:  امتحان کوییز، معادلات جداشدنی، همگن، کامل، عامل انتگرال‌ساز، حل چند مثال، بررسی تمرینات مباحث قبلی.

هفته چهارم: معرفی و حل معادلات خطی مرتبه اول، معادلات برنولی، معادلات ریکاتی، معادلات کلرو،  حل چند مثال.

هفته پنجم: تشکیل معادله دیفرانسیل، پوش و دسته منحمی‌های قائم، کاربردهایی از معادلات مرتبه اول، حل چند مثال، بررسی تمرینات مباحث قبلی.

هفته ششم: معادلات دیفرانسیل مرتبه دوم، معادلات فاقد متغیر مستقل x، معادلات فاقد متغیر وابسته y، حل چند مثال.

هفته هفتم:  امتحان کوییز، معادلات دیفرانسیل مرتبه دوم خطی همگن و ناهمگن، قضیه وجود و یکتایی جواب، قضایای مربوط به معادلات مرتبه دوم خطی، حل معادلات مرتبه دوم خطی همگن با ضرایب ثابت، حل چند مثال.

هفته هشتم: استقلال خطی توابع، رونسکین، روش کاهش مرتبه، معادلات مرتبه دوم خطی ناهمگن، حل چند مثال.

هفته نهم: روش تعیین ضرایب نامعین، روش تغییر پارامتر، معادلات کوشی-اویلر مرتبه دو و بالاتر، حل چند مثال.

هفته دهم: روش عملگر D , و ادامه مباحث

هفته یازدهم:  امتحان کوییز، معرفی تبدیلات لاپلاس، قضیه شرط وجود تبدیل لاپلاس توابع، تبدیل لاپلاس توابع معروف، معرفی تابع گاما، حل چند مثال.

هفته یازدهم: لاپلاس مشتق و انتگرال تابع، مشتق و انتگرال لاپلاس، ، قضیه شرط وجود تبدیل لاپلاس توابع، تبدیل لاپلاس توابع معروف، قضایای انتقال، حل معادلات دیفرانسیل با استفاده از تبدیلات لاپلاس.

هفته دوازدهم: تابع پله‌ای و لاپلاس توابع چند ضابطه‌ای، قضیه کانولوشن، حل معادلات دیفرانسیل و معادلات انتگرال با استفاده از تبدیلات لاپلاس.

هفته سیزدهم:  امتحان کوییز، حل معادلات دیفرانسیل به سری، یادآوری سری‌های توانی، تعریف نقاط عادی و غیر عادی (منظم)، حل چند معادله دیفرانسیل به سری حول نقاط عادی،

هفته پانزدهم: سری فروبنیوس، حل معادله دیفرانسیل به سری حول نقاط غیر عادی منظم، حل چند معادله خاص (چببیشف، لژاندر، بسل).

هفته شانزدهم: حل تمرین و رفع اشکال. ارائه پروژه ها

دروس کارشناسی مبانی آنالیزعددی-معادلات دیفرانسیل

1- پاسخ به سوالات در کلاس درس

2- آزمون کوییز فصل اول خطا

3-کوییز فصل دوم درونیابی

4-آزمون کوییز فصل سوم اسپلاین ها و بی اسپلاین ها

5-آزمون کوییز فصل چهارم مشتق و انتگرال گیری عددی

6- آزمون پایان ترم

در چهار چوب سرفصلها و منبعی که معرفی شده است به ترتیب در هر جلسه مطالبی که مورد انتظار است بصورت تشریحی بهمراه نوشتار در تابلو و با توضیحات شهودی و هندسی برای دانشجویان ارائه میشود. قسمت های از درس که نیاز به برنامه نویسی و اجرا در یکی از نرم افزارهای ریاضی مانند متلب میپل و پایتون دارد را در کلاس اجرا یا توسط برخی دانشجویان یا خودم صورت می گیرد.

جلسه اول و دوم: مروری بر مقدمات ریاضی: سری تیلر و قضیه رل و تعمیم یافته آن و مقدار میانگین در انتگرال، مفهوم -Oبزرگ و -oکوچک، مقدمه ای بر نرم افزارهای ریاضی و معرفی آن ها.
 

جلسه سوم تا پنجم: خطاها و نمایش ممیز شناور: اثر خطا بر نتایج عددی، انتشار خطا، خطای حذف، محاسبات کامپیوتری در نمایش ممیز شناور-استاندارد IEEE -محاسبه توابع مقدماتی-کامپیوترهای 32 و 64 بیتی- خطای سرریز و پی ریز-خطای گرد کردن
جلسه ششم تا سیزدهم: امتحان کوییز از خطاها ، درونیابی:درونیابی توسط چند جمله یی ها شامل درونیابی لاگرانژ، قضیه وجود و منحصر به فردی چند جمله ای درونیاب، تفاضلات تقسیم شده نیوتن، درونیابی اصلاح یافته لاگرانژ گرانیگاهی درونیابی هرمیت درونیابی مثلثاتی و رابطه آن با درونیابی چندجمله ای درونیابی گویا مبتنی بر دستگاه و تفاضلات معکوس و متقابل خطای درونیابی، تخمین خطا، برونیابی ریچاردسون.  امتحان کوییز از درونیابی ، اسپلاین خطی و مکعبی و تحلیل خطای آن ها، بی اسپلاین ها .
 

جلسه چهارهم تا سی و دوم: امتحان کوییز از اسپلاین ها و بی اسپلاین ها مشتق گیری و انتگرال گیری عددی:بتوضیح مشتق گیری عددی و به دست آوردن فرمول های مختلف مشتق گیری  با مرتبه های مختلف، روش های نیوتن کاتس بسته و باز: شامل روش ذوزنقه یی، سیمپسون، انتگرال گیری به روش گاوس، روش های انتگرال گیری از توابع شامل نقاط تکین، روش های نقطه میانی، رامبرگ و تحلیل خطای این روش ها.
 

1-- D. Kincaid and W. Cheney, Numerical Analysis, Cole Publishing Company, 1990.
 2- آنالیز عددی استوِئر

3- آنالیز عددی پیشرفته نویسنده دکتر داود میرزایی انتشارات دانشگاه اصفهان

هدف کلی آنالیز عددی: علم طراحی و تحلیل الگوریتم های عددی برای حل مسایلی چون یافتن بهترین تقریب، انتگرال گیری، مشتق گیری، حل دستگاه های معادلات خطی و غیر خطی، معادلات دیفرانسیل و ... است که این مسایل در بسیاری از رشته های علوم و مهندسی و حتی علوم انسانی مانند اقتصاد به وفور مطرح می شوند. در این درس هدف آشنایی با برخی از این الگوریتم ها و تحلیل آن ها می باشد.
اهداف ویژه:
1-آشنایی دانشجویان با الگوریتم های عددی و درک ارتباط بین آنها و مسایل واقعی در علوم و مهندسی
2-پیاده سازی روش های عددی با نرم افزارهای متداول ریاضی یا با استفاده از زبان های برنامه نویسی
3-تحلیل روش های عددی از نظر خطا و آنالیز همگرایی

حقق بهتراهداف درسی از نظر کمی و کیفی

کاهش بی‌نظمی و ایجاد انگیزه در کلاس

افزایش اعتماد به نفس مدرس

معادلات دیفرانسیل کسری (تحلیلی و عددی) درس کارشناسی ارشد

1- پاسخ به سوالات در کلاس درس

2- آزمون میان ترم

3- آزمون پایان ترم

4-ارایه پروژه موضوعی در کلاس توسط دانشجویان

حضوری،  سخنرانی و نوشتن روی تخته سیاه، در شرایط خاص نوشتن کد در اتاق کار

هفته اول: بیان تاریخچه مختصر از محاسبات کسری، دلایل مطالعه مشتق و انتگرال کسری، تفاوتهای مشتق و انتگرال کسری با مشتق و انتگرال کلاسیک، معرفی توابع خاص مورد نیازدر محاسبات کسری،  تعریف و یادآوری فضاهای مورد نیاز برای محاسبات کسری.

هفته دوم: تعریف انتگرال کسری ریمن-لیوویل و بررسی ویژگیهای مقدماتی آن  از طریق اثبات چند قضیه (خاصیت خطی، شرایط وجود انتگرال کسری، خاصیت جمع پذیری نسبت به مرتبه انتگرال و ...)

هفته سوم: نمایش به سری انتگرال کسری، تقریب انتگرال کسری به کمک برش نمایش سری آن، محاسبه انتگرال کسری برخی توابع مقدماتی. قضیه همگرایی نسبت به مرتبه انتگرال(بدون اثبات) و بیان اهمیت آن در کارهای عددی.

هفته چهارم: تعریف مشتق کسری ریمن-لیوویل و بررسی ویژگیهای مقدماتی آن  از طریق بیان  چند قضیه (خاصیت خطی، شرایط وجود،  جمع پذیر بودن یا نبودن نسبت به مرتبه کسری و ...)(برخی از قضیه بدون اثبات)

هفته پنجم: فرمول محاسبه مشتق ریمن- لیوویل عبارتهای ریاضی با توانهای کسری و غیرکسری، نمایش به سری مشتق ریمن- لیوویل، تقریب به کمک برش نمایش سری مشتق ریمن- لیوویل، بررسی رابطه بین  مشتق ریمن-لیوویل و انتگرال ریمن-لیوویل.

هفته ششم: ، معرفی معادله دیفرانسیل با مشتق ریمن- لیوویل و تبدیل آن به معادله انتگرال معادل، تعریف مشتق کسری کاپوتو  و بررسی ویژگیهای مقدماتی آن  از طریق بیان چند قضیه (خاصیت خطی، شرایط وجود،  جمع پذیر بودن یا نبودن نسبت به مرتبه کسری و ...)

هفته هفتم: ادامه بررسی ویژگیها، فرمول محاسبه مشتق کسری کاپوتو  عبارتهای ریاضی با توانهای کسری و غیرکسری، نمایش به سری مشتق ریمن- لیوویل، تقریب به کمک برش نمایش سری مشتق ریمن- لیوویل.

هفته هشتم: بررسی رابطه بین  مشتق کسری کاپوتو  و انتگرال ریمن-لیوویل، معرفی معادله دیفرانسیل با مشتق کسری کاپوتو  و تبدیل آن به معادله انتگرال معادل.

هفته نهم:آزمون میان‌ترم

هفته دهم:  یادآوری توابع میتگ-لفلر و بررسی ویژگیهای مقدماتی آن، یادآوری تبدیل لاپلاس، محاسبه تبدیل لاپلاس  انتگرال ریمن-لیوویل، مشتق  ریمن-لیوویل و مشتق کاپوتو

هفته یازدهم: بیان لم ها و قضیه های مرتبط با حل معادلات دیفرانسیل کسری خطی به کمک تبدیل لاپلاس، حل چند مثال از معادلات دیفرانسیل کسری خطی (معادله بگلی- تورویک و ...)

هفته دوازدهم: بیان قضیه های وجود و یکتایی جواب معادلات دیفرانسیل کسری غیرخطی ریمن-لیوویل و کاپوتو بدون اثبات. معادل سازی معادلات دیفرانسیل کسری با معادله انتگرال ولترای منفرد به طور ضعیف، بیان روش تقریبهای متوالی برای حل معادله انتگرال معادل و اثبات همگرایی روش. حل چند مثال.

هفته سیزدهم: بررسی روشهای تقریبی انتگرال کسری به کمک درونیابی (روش ذوزنقه ای کسری، سیمپسون کسری، ...)، حل چند مثال

هفته چهاردهم: حل برخی از معادلات دیفراسیل کسری به کمک تفاضلات متناهی با ارایه چند مثال.

هفته پانزدهم: معرفی برخی از روشهای بسط و حل عددی معادلات دیفرانسیل کسری به کمک آنها با ارایه چند مثال.

هفته شانزدهم: حل تمرین و رفع اشکال دانشجویان

هفته هفدهم: آزمون پایان ترم

1-Numerical Methods for Fractional Calculus, Changpin Li, Fanhai Zeng, Chapman and Hall/CRC, Boca Raton, USA 2015

2-Theory and numerical approximations of fractional integrals and derivatives, Changpin Li, Min Cai, Society for Industrial and Applied Mathematics, 2019