برنامه درسی

ریاضیات عمومی 2

1- شرکت فعال در کلاس و پاسخ به سوالات کلاسی

2- آزمون میان ترم

3- آزمون پایان ترم

1- حضوری و سخنرانی

2- با نوشتن مطالب درسی روی تخته وایت برد

3- پرسش و پاسخ از دانشجویان

این درس به حضوری در روزهای یکشنبه و سه شنبه برگزار میشود.

1- معادلات دیفرانسیل و کاربرد آنها، تالیف دکتر اضغر کرایه چیان، انتشارات دانشگاه فردوسی مشهد سال 1397 ویرایش بیست و هشتم

2- معادلات دیفرانسیل معمولی و برخی کاربردها، تالیف دکتر ابراهیم پوررضا، انتشارات دانشگاه تبریز سال 1387 ویرایش دوم

هفته اول: تعریف و دسته بندی ﻣﻌﺎﺩﻻﺕ ﺩﻳﻔﺮﺍﻧﺴﻴﻞ، ﺩﺭﺟﻪ ﻭ ﻣﺮﺗﺒﻪ،  تعریف ﺟﻮﺍﺏهای عمومی، خصوصی و غیرعادی(استثنایی)  برای معادلات دیفرانسیل، ﺗﺸﻜﻴﻞ ﻣﻌﺎﺩﻟﻪ ﺩﻳﻔﺮﺍﻧﺴﻴﻞ برای خانواده ای از منحنی های پارامتری.

هفته دوم: تعبیر فیزیکی یک معادله دیفرانسیل مرتبه اول، تعریف مسئله مقدار اولیه و بیان قضیه وجود و یکتایی جواب آن،  بیان معادلات دیفرانسیل مرتبه اول جداپذیر و  همگن و روشهای حل آنها با ارایه چند مثال.

هفته سوم: تعریف معادلات کامل و غیرکامل و روشهای حل آنها (روشهای تعیین عاملهای انتگرال ساز برای معادلات دیفرانسیل غیرکامل) با حل مثالهای مختلف.

هفته چهارم: معرفی معادلات خطی مرتبه اول، معادلات برنولی،  کلرو، لاگرانژ و ریکانی و روش تعیین پوش دسته منحنی با  حل مثال برای هر مورد.

هفته پنجم:  کاربردهای معادلات دیفرانسیل مرتبه اول: تعیین مسیرهای قایم و مایل برای خانواده ای از منحنیهای مشخص، مدلبندی  چندین مسئله کاربردی و عملی به صورت معادلات دیفرانسیل مرتبه اول و حل آنها به کمک روشهای ارایه شده در بخشهای قبل.

هفته ششم: ادامه مدلبندی مسائل کاربردی، معرفی معادلات دیفرانسیل مرتبه بالاتر قابل تبدیل به معادلات مرتبه اول و حل چند مثال مرتبط.

هفته هفتم: معرفی معادلات دیفرانسیل مرتبه دوم خطی همگن و ناهمگن، قضیه وجود و یکتایی جواب آنها، استقلال خطی و وابستگی خطی جوابها، قضایای مربوط به تعیین جواب معادلات مرتبه دوم خطی و تعریف رونسکین.

هفته هشتم:  روشهای حل معادلات دیفرانسیل خطی مرتبه دوم با ضرایب ثابت (تعیین معادله مشخصه و روش کاهش مرتبه).

هفته نهم:آزمون میان‌ترم

هفته دهم: روش ضرایب نامعین برای حل معادلات دیفرانسیل خطی مرتبه دوم ناهمگن با ضرایب ثابت، روش تغییر پارامتر، معرفی و حل معادلات از نوع  اویلر، حل معادلات مرتبه بالاتر،

هفته یازدهم: یادآوری سری‌های توانی،  تعریف نقاط عادی و غیر عادی (منظم و نامنظم)، حل معادلات دیفرانسیل به کمک سریهای توانی در همسایگی نقاط عادی.

هفته دوازدهم: ادامه حل معادلات دیفرانسیل به کمک سریهای توانی در همسایگی نقاط عادی، حل معادلات دیفرانسیل به کمک سریهای توانی در همسایگی نقاط غیرعادی منظم (روش سری فروبنیوس).

هفته سیزدهم: معرفی تبدیلات لاپلاس،  محاسبه تبدیل توابع لاپلاس مقدماتی،  شرایط وجود تبدیل لاپلاس، تبدیل، بیان و اثبات قضیه های تبدیل لاپلاس در ارتباط با مشتق و انتگرال توابع و مشتق تبدیل لاپلاس، قضیه اول انتقال با ارایه مثال در هر مورد.

هفته چهاردهم: بیان قضیه پیچش، تعریف تابع پله ای واحد(هویساید)،  حل معادلات دیفرانسیل به کمک تبدیل لاپلاس با ارایه مثالهای مختلف.

هفته پانزدهم: ادامه حل معادلات دیفرانسیل به کمک تبدیل لاپلاس، تبدیل لاپلاس تابع دلتای دیراک و حل معادلات دیفرانسیل مرتبط با آن به کمک تبدیل لاپلاس

هفته شانزدهم: حل تمرین و رفع اشکال دانشجویان

هفته هفدهم: آزمون پایان ترم

آشنا کردن دانشجویان با روشهای حل انواع معادلات دیفرانسیل معمولی که در مدلبندی مسائل کاربردی در رشته های مهندسی برق و کامپیوتر بوجود می آیند.

آنالیز عددی پیشرفته و  آنالیز حقیقی

1- پاسخ به سوالات در کلاس درس

2- آزمون میان ترم

3- آزمون پایان ترم

حضوری،  سخنرانی و نوشتن روی تخته سیاه

1- The Analsys of Fractional Differential Equations,  Kai, Diethelm, Springer, 2010.

2- Fractional Differential Equations, Podlubney,  Springer, 1999.

3- Introduction to Fractional Differential Equations, Constantin Milici,  Gheorghe Draganescu, J. Tenreiro Machado, Springer, 2019.
 

هفته اول: بیان تاریخچه مختصر از محاسبات کسری، دلایل مطالعه مشتق و انتگرال کسری، تفاوتهای مشتق و انتگرال کسری با مشتق و انتگرال کلاسیک، معرفی توابع خاص مورد نیازدر محاسبات کسری،  تعریف و یادآوری فضاهای مورد نیاز برای محاسبات کسری.

هفته دوم: تعریف انتگرال کسری ریمن-لیوویل و بررسی ویژگیهای مقدماتی آن  از طریق اثبات چند قضیه (خاصیت خطی، شرایط وجود انتگرال کسری، خاصیت جمع پذیری نسبت به مرتبه انتگرال و ...)

هفته سوم: نمایش به سری انتگرال کسری، تقریب انتگرال کسری به کمک برش نمایش سری آن، محاسبه انتگرال کسری برخی توابع مقدماتی. قضیه همگرایی نسبت به مرتبه انتگرال(بدون اثبات) و بیان اهمیت آن در کارهای عددی.

هفته چهارم: تعریف مشتق کسری ریمن-لیوویل و بررسی ویژگیهای مقدماتی آن  از طریق بیان  چند قضیه (خاصیت خطی، شرایط وجود،  جمع پذیر بودن یا نبودن نسبت به مرتبه کسری و ...)(برخی از قضیه بدون اثبات)

هفته پنجم: فرمول محاسبه مشتق ریمن- لیوویل عبارتهای ریاضی با توانهای کسری و غیرکسری، نمایش به سری مشتق ریمن- لیوویل، تقریب به کمک برش نمایش سری مشتق ریمن- لیوویل، بررسی رابطه بین  مشتق ریمن-لیوویل و انتگرال ریمن-لیوویل.

هفته ششم: ، معرفی معادله دیفرانسیل با مشتق ریمن- لیوویل و تبدیل آن به معادله انتگرال معادل، تعریف مشتق کسری کاپوتو  و بررسی ویژگیهای مقدماتی آن  از طریق بیان چند قضیه (خاصیت خطی، شرایط وجود،  جمع پذیر بودن یا نبودن نسبت به مرتبه کسری و ...)

هفته هفتم: ادامه بررسی ویژگیها، فرمول محاسبه مشتق کسری کاپوتو  عبارتهای ریاضی با توانهای کسری و غیرکسری، نمایش به سری مشتق ریمن- لیوویل، تقریب به کمک برش نمایش سری مشتق ریمن- لیوویل.

هفته هشتم: بررسی رابطه بین  مشتق کسری کاپوتو  و انتگرال ریمن-لیوویل، معرفی معادله دیفرانسیل با مشتق کسری کاپوتو  و تبدیل آن به معادله انتگرال معادل.

هفته نهم:آزمون میان‌ترم

هفته دهم:  یادآوری توابع میتگ-لفلر و بررسی ویژگیهای مقدماتی آن، یادآوری تبدیل لاپلاس، محاسبه تبدیل لاپلاس  انتگرال ریمن-لیوویل، مشتق  ریمن-لیوویل و مشتق کاپوتو

هفته یازدهم: بیان لم ها و قضیه های مرتبط با حل معادلات دیفرانسیل کسری خطی به کمک تبدیل لاپلاس، حل چند مثال از معادلات دیفرانسیل کسری خطی (معادله بگلی- تورویک و ...)

هفته دوازدهم: بیان قضیه های وجود و یکتایی جواب معادلات دیفرانسیل کسری غیرخطی ریمن-لیوویل و کاپوتو بدون اثبات. معادل سازی معادلات دیفرانسیل کسری با معادله انتگرال ولترای منفرد به طور ضعیف، بیان روش تقریبهای متوالی برای حل معادله انتگرال معادل و اثبات همگرایی روش. حل چند مثال.

هفته سیزدهم: بررسی روشهای تقریبی انتگرال کسری به کمک درونیابی (روش ذوزنقه ای کسری، سیمپسون کسری، ...)، حل چند مثال

هفته چهاردهم: حل برخی از معادلات دیفراسیل کسری به کمک تفاضلات متناهی با ارایه چند مثال.

هفته پانزدهم: معرفی برخی از روشهای بسط و حل عددی معادلات دیفرانسیل کسری به کمک آنها با ارایه چند مثال.

هفته شانزدهم: حل تمرین و رفع اشکال دانشجویان

هفته هفدهم: آزمون پایان ترم

آنالیز عددی پیشرفته و آنالیز حقیقی

1- پاسخ به سوالات مطرح شده در کلاس

2- ارایه حداقل یک سمینار در کلاس

3- آزمون میان ترم

آزمون پایان ترم

حضوری و به صورت سخنرانی و پرسش و پاسخ در کلاس

1- The Analsys of Fractional Differential Equations,  Kai, Diethelm, Springer, 2010.

2- Fractional Differential Equations, Podlubney,  Springer, 1999.

هفته اول: بیان تاریخچه مختصر از محاسبات کسری، دلایل مطالعه مشتق و انتگرال کسری، تفاوتهای مشتق و انتگرال کسری با مشتق و انتگرال کلاسیک، معرفی توابع خاص مورد نیاز در محاسبات کسری،  تعریف و یادآوری فضاهای مورد نیاز برای محاسبات کسری.

هفته دوم: تعریف انتگرال کسری ریمن-لیوویل و بررسی ویژگیهای آن از طریق بیان و اثبات چند قضیه (خاصیت خطی، شرایط وجود انتگرال کسری، خاصیت جمع پذیری نسبت به مرتبه انتگرال و ...)

هفته سوم: نمایش به سری انتگرال کسری، تقریب انتگرال کسری به کمک برش نمایش سری آن، محاسبه انتگرال کسری برخی توابع مقدماتی. اثبات قضیه همگرایی نسبت به مرتبه انتگرال و بیان اهمیت آن در کارهای عددی.

هفته چهارم: تعریف مشتق کسری ریمن-لیوویل و بررسی ویژگیهای  آن  از طریق بیان و اثبات چند قضیه (خاصیت خطی، شرایط وجود،  جمع پذیر بودن یا نبودن نسبت به مرتبه کسری و ...)

هفته پنجم: فرمول محاسبه مشتق ریمن- لیوویل عبارتهای ریاضی با توانهای کسری و غیرکسری، نمایش به سری مشتق ریمن- لیوویل، تقریب به کمک برش نمایش سری مشتق ریمن- لیوویل، بررسی رابطه بین  مشتق ریمن-لیوویل و انتگرال ریمن-لیوویل.

هفته ششم: ، معرفی معادله دیفرانسیل با مشتق ریمن- لیوویل و تبدیل آن به معادله انتگرال معادل، تعریف مشتق کسری کاپوتو  و بررسی ویژگیهای آن  از طریق بیان و اثبات چند قضیه (خاصیت خطی، شرایط وجود،  جمع پذیر بودن یا نبودن نسبت به مرتبه کسری و ...)

هفته هفتم: ادامه بررسی ویژگیها، فرمول محاسبه مشتق کسری کاپوتو  عبارتهای ریاضی با توانهای کسری و غیرکسری، نمایش به سری مشتق ریمن- لیوویل، تقریب به کمک برش نمایش سری مشتق ریمن- لیوویل.

هفته هشتم: بررسی رابطه بین  مشتق کسری کاپوتو  و انتگرال ریمن-لیوویل ( اثبات به صورت قضیه)، معرفی معادله دیفرانسیل با مشتق کسری کاپوتو  و تبدیل آن به معادله انتگرال معادل (اثبات به صورت قضیه).

هفته نهم:آزمون میان‌ترم

هفته دهم:  یادآوری توابع میتگ-لفلر و بررسی ویژگیهای آن، اثبات قضیه همگرایی، نمایش به صورت معادله دیفرانسیل.

هفته یازدهم: بیان لم ها و قضیه های مرتبط با حل معادلات دیفرانسیل کسری خطی به کمک تبدیل لاپلاس، حل چند مثال از معادلات دیفرانسیل کسری خطی (معادله بگلی- تورویک و ...)

هفته دوازدهم: اثبات قضیه های وجود و یکتایی جواب معادلات دیفرانسیل کسری غیرخطی ریمن-لیوویل. معادل سازی معادلات دیفرانسیل کسری ریمن- لیوویل با معادله انتگرال ولترای منفرد به طور ضعیف(اثبات به صورت قضیه)، بیان روش تقریبهای متوالی برای حل معادله انتگرال معادل و اثبات همگرایی روش. حل چند مثال.

هفته سیزدهم: اثبات قضیه های وجود و یکتایی جواب معادلات دیفرانسیل کسری غیرخطی کاپوتو. معادل سازی معادلات دیفرانسیل کسری کاپوتو با معادله انتگرال ولترای منفرد به طور ضعیف(اثبات به صورت قضیه)، بیان روش تقریبهای متوالی برای حل معادله انتگرال معادل و اثبات همگرایی روش. حل چند مثال.

هفته چهاردهم: حل برخی از معادلات دیفراسیل کسری به کمک  تبدیل لاپلاس با ارایه چند مثال.

هفته پانزدهم: ارایه سمینار توسط دانشجویان

هفته شانزدهم: ادامه سمینار دانشجویی  و رفع اشکال دانشجویان

هفته هفدهم: آزمون پایان ترم