برنامه درسی

ریاضی عمومی 1 و مبانی کامپیوتر و برنامه نویسی

در طول ترم  برای هر جلسه تمرین داده می شود. در هر ترم حداقل یک امتحان درون کلاسی گرفته میشود. با این هدف که هم دانشجویان از نحوه سوالات درس آشنا شوند و هم آمادگی کافی برای امتحان پایان ترم داشته باشند. در ضمن نمرات این امتحانات بصورت تاثیر مثبت در نظر گرفته شده و هیچ مبحثی برای پایان ترم حذف نمیشود.

در چهار چوب سرفصلها و منبعی که معرفی شده است به ترتیب در هر جلسه مطالبی که مورد انتظار است بصورت تشریحی بهمراه نوشتار در تابلو و با توضیحات شهودی و هندسی برای دانشجویان ارائه میشود. قسمت های از درس که نیاز به برنامه نویسی و اجرا در یکی از نرم افزارهای ریاضی مانند متلب و پایتون دارد را در کلاس اجرا یا توسط برخی دانشجویان یا خودم صورت می گیرد.

 جلسه اول و دوم: مروری بر مقدمات ریاضی: سری تیلر و قضیه رل و تعمیم یافته آن و مقدار میانگین در انتگرال، مفهوم -Oبزرگ و -oکوچک، مقدمه ای بر نرم افزارهای ریاضی و معرفی آن ها.
 

جلسه سوم تا پنجم: خطاها و نمایش ممیز شناور: اثر خطا بر نتایج عددی، انتشار خطا، خطای حذف، محاسبات کامپیوتری در نمایش ممیز شناور
 

جلسه ششم تا دهم: درونیابی:درونیابی توسط چند جمله یی ها شامل درونیابی لاگرانژ، قضیه وجود و منحصر به فردی چند جمله ای درونیاب، تفاضلات تقسیم شده نیوتن، خطای درونیابی، تخمین خطا، برونیابی ریچاردسون. درونیابی هرمیت و اسپلاین مکعبی و تحلیل خطای آن ها.
 

جلسه یازدهم و دوازدهم: تقریب کمترین مربعات کسسته و پیوسته.

جلسه سیزده: میان ترم.

جلسه چهاردهم تا هجدهم: روش های عددی برای محاسبه ریشه توابع غیر خطی: شامل روش دوبخشی، روش نیوتن، روش نابجایی و تحلیل همگرایی آن ها. قضیه
نگاشت انقباضی، روش تکرار ساده و تحلیل همگرایی آن.
 

جلسه نوزدهم تا بیست و هفتم: مشتق گیری و انتگرال گیری عددی:بتوضیح مشتق گیری عددی و به دست آوردن فرمول های مختلف مشتق گیری  با مرتبه های مختلف، روش های نیوتن کاتس بسته و باز: شامل روش ذوزنقه یی، سیمپسون، انتگرال گیری به روش گاوس، روش های انتگرال گیری از توابع شامل نقاط تکین، روش های نقطه میانی، رامبرگ و تحلیل خطای این روش ها.
 

جلسه بیست هشت تا سی ام: حل دستگاه های معادلات خطی:تجزیه LUبدون محور گیری و با محورگیری جزیی. تجزیه چولسکی برای ماتریس های متقارن و معین مثبت
 

جلسه سی یک تا سی و دو:  حل عددی معادلات دیفرانسیل معمولی

1-آنالیز عددی نویسندگان: ، Richard L. Brdon, J. Doglas Fires, Albert C. Reinoldsمترجمین: علی اکبر عالم زاده، اسماعیل بابلیان و محمد رضا امیدوار
2-بابلیان، اسماعیل. مبانی آنالیز عددی، انتشارات فاطمی

3- علی عبدی، حسینی: مبانی آنالیز عددی، انتشارات دانشگاه تبریز

4- ا. کرایه چیان، آنالیز عددی ،1انتشارات دانشگاه فردوسی مشهد، چاپ جهارم، 1390.

5- D. Kincaid and W. Cheney, Numerical Analysis, Cole Publishing Company, 1990.
 

هدف کلی آنالیز عددی: علم طراحی و تحلیل الگوریتم های عددی برای حل مسایلی چون یافتن بهترین تقریب، انتگرال گیری، مشتق گیری، حل دستگاه های معادلات خطی و غیر خطی، معادلات دیفرانسیل و ... است که این مسایل در بسیاری از رشته های علوم و مهندسی و حتی علوم انسانی مانند اقتصاد به وفور مطرح می شوند. در این درس هدف آشنایی با برخی از این الگوریتم ها و تحلیل آن ها می باشد.
اهداف ویژه:
1-آشنایی دانشجویان با الگوریتم های عددی و درک ارتباط بین آنها و مسایل واقعی در علوم و مهندسی
2-پیاده سازی روش های عددی با نرم افزارهای متداول ریاضی یا با استفاده از زبان های برنامه نویسی
3-تحلیل روش های عددی از نظر خطا و آنالیز همگرایی
 

تحقق بهتراهداف درسی از نظر کمی و کیفی

کاهش بی‌نظمی و ایجاد انگیزه در کلاس

افزایش اعتماد به نفس مدرس

ریاضی عمومی 1

فعالیت کلاسی، حل تمرین، امتحان حضوری میان ترم و پایان ترم.

استفاده از تابلو و وایت برد، پروژکتور و معرفی برخی نرم افزار های ریاضی مرتبط با معادلات دیفرانسیل مانند متیمتیکا، میپل، متلب و پایتون.

جلسه اول: مقدمه ای بر معادلات دیفرانسیل: نکات کلی در مورد وجود، یکتایی و دسته بندی جوابهای معادلات دیفرانسیل.

جلسه دوم تا هفتم: معادلات مرتبۀ اول: معادلات تفکیک پذیر، معادلات همگن، معادلات قابل تبدیل به معادلات همگن، معادلات کامل، فاکتورهای انتگرال، معادلات خطی مرتبه اول - معادلات غیرخطی مهم (برنولی، ریکاتی، لاگرانژ و...،) دسته های منحنی، مسیرهای قائم - مدلسازی.

جلسه هشتم: میان ترم

جلسه نهم تا دوازدهم: معادلات مرتبۀ بالاتر:کاهش مرتبه - مفاهیم مقدماتی لازم در مورد معادلات خطی، معرفی جواب عمومی معادله خطی همگن و غیرهمگن، استفاده از یک جواب معلوم برای یافتن جوابی دیگر، معادلات خطی همگن با ضرایب (ثابت مرتبۀ دوم و بالاتر،) معادلات خطی غیرهمگن، روشهای عملگری برای حل معادلات با ضرایب غیرثابت (معادلات کوشی - اویلر... ،) نظریۀ مقدماتی معادلات با شرایط مرزی (مقادیر و توابع ویژه).

جلسه سیزده تا شانزدهم: جوابهای سری توانی و توابع خاص: مروری بر سریهای توانی، جوابها حول نقاط عادی، معادلۀ لژاندر، چندجمله ایهای لژاندر، خواص چندجمله ایهای لژاندر - جوابها حول نقاط غیرعادی (روش فروبنیوس،) معادلۀ بسل، تابع گاما، خواص تابع بسل.

جلسه هفدهم تا بیست و یکم: تبدیل لاپلاس و کاربردهای آن : مقدمه (نکاتی در مورد نظریه لاپلاس) قضیۀ وجودی، تبدیل لاپلاس، مشتق و انتگرال، قضایای انتقال و معرفی توابع پله یی واحد و تابع دلتای دیراک، موارد استعمال در معادلات دیفرانسیل، مشتق و انتگرال تبدیل لاپلاس، معرف یپیچش (کانولوشن)، معرفی معادلات انتگرالی، حل دستگاه خطی با تبدیل لاپلاس.

جلسه بیست دو تا بیست و چهارم:ﺣﻞ دﺳﺘﮕﺎﻫﻬﺎی ﺧﻄﻲ ﻫﻤﮕﻦ و ﻏﻴﺮ ﻫﻤﮕﻦ ﺑﺎ ﺿﺮاﻳﺐ ﺛﺎﺑﺖ با استفاده از مقادیر ویژه و بردارهای ویژه، ادامه حل دستگاه های خطی همگن و غیر همگن با ضرایب ثابت.

• معادلات دیفرانسیل دکتر عرفانیان
• معادلات دیفرانسیل مقدماتی، تالیف بویس، ترجمه دکتر عالم زاده
  م. نیکوکار، معادلات دیفرانسیل معمولی، انتشارات آزاده 1392،
• معادلات دیفرانسیل کرایه چیان
• معادلات دیفرانسیل مقدماتی و مسائل مقدار مرزی ،    نویسنده : بویس دیپریما
• ج. اف. سیمونز، معادلات دیفرانسیل و کاربردهای آن، مرکز نشر دانشگاهی، ،1391مترجم: ع. ا. بابایی و ا. میامیی.
• George F. Simmons, Differential equations with applications and historical notes, T. M. H. Ed., 1974
• William E. Boyce and Richard C. Diprima, Elementary differential equations and boundary value problems, Third Ed., John Wiley & Sons, 1977

1-آشنایی با انواع معادلات دیفرانسیل معمولی
2-آشنایی با روشهای حل معادلات دیفرانسیل معمولی، مانند فاکتورهای انتگرال، روشهای عملگری، حل به کمک سری توانی و تبدیل لاپلاس و ....

• استفاده بهینه از زمان، تحقق بهتراهداف درسی از نظر کمی و کیفی
• ایجاد انگیزه در دانشجویان به خصوص در دانشجویان پیش خوان
• افزایش اعتماد به نفس استاد، امکان یادگیری عمیق‌تر و پایدارتر دانشجویان
• کاهش بی‌نظمی و هرج و مرج در کلاس و نهادینه شدن نظم و انضباط در فعالیت‌های علمی و روزمره