برنامه درسی

معادلات دیفرانسیل با مشتقات جزیی (کارشناسی)

Tyn Myint − U , Linear Partial Differential Equations for Scientists and Engineers, Fourth Edition, 2007

• Partial Differential Equations in Action, from modeling to theory, S. Salsa, Springer Verlag Italia, Milano, 2008.

Nakhle H . Asmar , Partial Differential Equations with Fourier Series and Boundary Value Problems , Second Edition, 2005 .

Partial Differential Equations, Second Edition, L. C. Evans, 19, Graduate Studies in Mathematics American Mathematical Society, 2010.

• Partial Differential Equations, Second Edition, J. Jost, Graduate Texts in Mathematics 214, Springer, New York, 2007.

• Partial Differential Equations: An Introduction, Second Edition, W. Strauss, John Wiley and Sons. New York, 2008.

جلسه اول: مفاهیم و تعاریف مقدماتی

جلسه دوم: مدل های فیزیکی برای معادلات

جلسه سوم و چهارم: معادلات خطی و غیرخطی مرتبه اول و روش منحنی مشخصه

جلسه پنجم: دسته بندی معادلات خطی مرتبه  دوم،

جلسه ششم: معادلات مرتبه دوم شامل معادله گرما و انتشار، معادله موج معادله لاپلاس و پواسون،

  جلسه هفتم: روش دالامبر برای حل معادلات موج همگن و غیرهمگن در بازههای نیمه نامتناهی و نامتناهی.

 جلسه هشتم: سری فوریه، سری فوریه سینوسی و کسینوسی،

جلسه نهم: نامساوی بسل، اتحاد پارسوال،

 جلسه دهم: فرم مختلط سری فوریه،

جلسه یازدهم: همگرایی نقطهای، همگرایی یکنواخت، همگرایی در میانگین،

جلسه دوازدهم: مشتق و انتگرال از سری فوریه.

جلسه سیزدهم: روش جداسازی متغیرها.

جلسه چهاردهم: وجود و یکتایی معادلات فنر مرتعش و حرارت روی یک بازه متناهی،

جلسه پانزدهم: معادلات فنر مرتعش و حرارت غیرهمگن با شرایط مرزی غیرهمگن.

جلسه شانزدهم:  مسئله ی اشتورم و لیوویل.

جلسه هفدهم: مقادیر ویژه و توابع ویژه،

جلسه هجدهم: بسط توابع ویژه،

جلسه نوزدهم:  اتحاد لاگرانژ،

جلسه بیستم: مسائل با شرایط مرزی غیرهمگن،

جلسه بیست و یکم: مسائل مقدار ویژه و تابع گرین.

جلسه بیست و دوم: تابع گرین برای مسایل مرزی دیریکله.

جلسه بیست و سوم: مسائل با شرایط مرزی. مسئله دریکله و نویمن،

جلسه بیست و چهارم: اصل ماگزیمم و مینیمم،

جلسه بیست و پنجم: مسئله دریکله و نویمن روی دایره و مستطیل.

جلسه بیست و ششم: تبدیل های انتگرالی. تبدیل فوریه و تبدیل لاپلاس، خواص و کاربرد آنها در حل معادلات حرارت، موج و لاپلاس در نواحی نیمه نامتناهی و نامتناهی.

جلسه بیست و هفتم: دنباله های تنظیم کننده،

جلسه بیست و هشتم: جواب های ضعیف و امواج شوک،

جلسه بیست و نهم: مسئله ریمان،

جلسه سی ام:پیچش و تنظیم در فضاهای Lp

جلسه سی و یکم:  توابع تعمیم یافته،تابع دلتای دیراک،

جلسه سی و دوم: جواب اساسی معادلات،

جلسه سی و سوم:نمایش جواب ها برای معادلات با استفاده از جواب اساسی،

آشنایی با مفاهیم مربوط به معادلات دیفرانسیل پاره ای و بررسی روش های تحلیلی و نظری برای بررسی برخی از این معادلات

• معادلات دیفرانسیل جزئی
• آنالیز ریاضی

 D. Gilbarg, N.S. Trudinger, Elliptic Partial Differential equations of second order,
Springer 2001.
 Q. Han, F. Lin, Elliptic Partial Differential equations, Courant Institute of
Mathematical sciences, 2011.
 A. Ambrosetti, D. Arcoya, An Introduction to nonlinear Functional analysis and Elliptic
problems, Springer 2011.

هفته 1: معرفی معادلات بیضوی

• تعریف و ویژگی‌های کلی معادلات بیضوی
• کاربردها در فیزیک و مهندسی

هفته 2: معادلات بیضوی خطی

• فرم عمومی معادلات بیضوی
• وجود و یکتایی جواب‌ها

هفته 3: معادلات شبه‌خطی

• معرفی و ویژگی‌های معادلات شبه‌خطی
• مقایسه بین معادلات خطی و شبه‌خطی

هفته 4: روش‌های اثبات وجود جواب

• روش پرون
• روش وردشی

هفته 5: روش پیوستگی

• مفهوم پیوستگی و تئوری‌های مرتبط
• بررسی جواب‌های پیوسته

هفته 6: روش‌های فشردگی

• تئوری فشردگی و نتایج آن
• کاربرد در اثبات وجود جواب

هفته 7: روش‌های پتانسیل لایه‌ای

• مقدمه‌ای بر روش‌های پتانسیل
• تحلیل معادلات بیضوی با استفاده از پتانسیل لایه‌ای

هفته 8: روش‌های نقطه ثابت

• تئوری نقطه ثابت (Banach و Schauder)
• کاربرد در معادلات بیضوی

هفته 9: اصول مقایسه و ماکزیمم

• اصول ماکزیمم و مقایسه
• بررسی نامساوی هارنک

هفته 10: پیوستگی هولدر جواب‌ها

• پیوستگی و نرمی جواب‌ها و گرادیان‌ها
• نتیجه‌گیری‌ها نسبت به رفتار جواب‌ها

هفته 11: معادلات غیرخطی

• ویژگی‌های معادلات غیرخطی
• مقایسه با معادلات خطی

هفته 12: جواب‌های لزجی

• تعریف و ویژگی‌های خاص جواب‌های لزجی
• کاربردها و مثال‌های واقعی

هفته 13: اصل ماکزیمم الکساندروف

• بررسی اصل ماکزیمم و کاربردهای آن

هفته 14: تخمین‌های شادر

• اصول و روش‌های ارائه تخمین‌های شادر

هفته 15: جمع‌بندی و بررسی موضوعات جدید

• مرور کلی بر مفاهیم مهم دوره و بحث در مورد مطالعات آینده

این دوره به بررسی معادلات بیضوی خطی و شبه‌خطی و روش‌های مختلف اثبات وجود و یکتایی جواب‌ها  و جواب های لزجی معادلات غیرخطی می‌پردازد.

مبانی علوم ریاضی

1. ک. تاناکا، مقادمه ای بر منطق فازی برای کاربردهای علمی، ترجمه علی وحیدیان کامیاد و حامد رضا طارقیان، دانشگاه
. فردوسی مشهد، 1392
. 2. م. رضایی، م. غضنفری، مقدمه ای بر نظریه مجموعه های فازی، دانشگاه علم و صنعت، 1390
3. ج. کلر، یو. اس. کلیر، ب. آن، تئوری مجموعه های فازی: اصاول و کارکردها، ترجمه محمدحسین فاضل زرندی، دانشگاه
. صنعتی امیرکبیر، 1393
4. ال. واناگ، سیستمهای فازی و کنترل فازی، ترجمه محمد تشنه لب، نیما صفارپور و داریوش افیونی، دانشگاه
. خواجه نصیرالدین طوسی، 1395
5. L. X. Wang, A Course in Fuzzy Systems and Control, 1996.
6. G. J. Klir, B. Yuan, Fuzzy Set and Fuzzy Logic: Theory and Application, 1995.
7. B. Bede, Mathematics of Fuzzy Sets and Fuzzy Logic, 2013
 

جلسه 1: مقدمه‌ای بر منطق فازی

• تعریف و مقایسه با منطق کلاسیک.
• تاریخچه و کاربردهای منطق فازی.

جلسه 2و 3: مجموعه‌های فازی

• تعریف مجموعه‌های فازی.
• تابع عضویت و انواع توابع عضویت (مثلثی، ذوزنقه‌ای، گاوسی).

جلسه 4: زیرمجموعه‌های فازی و آلفا-برش

• مفهوم زیرمجموعه‌های فازی.
• بررسی آلفا-برش و کاربردهای آن.

جلسه 5و6: عملیات بر روی مجموعه‌های فازی

• اجتماع، اشتراک و مکمل.
• قانون دمورگان در مجموعه‌های فازی.

جلسه 7و8: گزاره‌های فازی و قواعد اگر-آنگاه

• تعریف گزاره‌های فازی.
• نوشتن قواعد فازی.

جلسه 9و10: موتور استنتاج فازی

• اجزای موتور استنتاج فازی.
• فرآیند استنتاج فازی و روش‌های آن.

جلسه 11و12: سیستم‌های کنترل فازی

• تعریف سیستم‌های کنترل فازی.
• مقایسه با سیستم‌های کنترلی کلاسیک.

جلسه 13و14: طراحی سیستم کنترل فازی

• مراحل طراحی یک سیستم کنترل فازی.
• شبیه‌سازی مراحل طراحی.

جلسه 15و 16: ابزارهای نرم‌افزاری برای سیستم‌های فازی

• معرفی نرم‌افزارهای شبیه‌سازی (مانند MATLAB Fuzzy Toolbox).
• آموزش استفاده از نرم‌افزار برای طراحی سیستم‌های فازی.

جلسه 17: پروژه نهایی و ارزیابی

• ارائه پروژه‌های دانشجویان در زمینه طراحی سیستم کنترل فازی.
• بحث و نقد پروژه‌ها.

آشنایی با مفاهیم و مباحث منطق چند ارزش، منطق فازی و نظریه مجموعه های فازی و کاربرد آنها برای توصیف بخشی از مبحث
هوش مصنوعی و محاسبات نرم یعنی کنترل و استنتاج فازی

مبانی علوم ریاضی

1. ک. تاناکا، مقادمه ای بر منطق فازی برای کاربردهای علمی، ترجمه علی وحیدیان کامیاد و حامد رضا طارقیان، دانشگاه
. فردوسی مشهد، 1392
. 2. م. رضایی، م. غضنفری، مقدمه ای بر نظریه مجموعه های فازی، دانشگاه علم و صنعت، 1390
3. ج. کلر، یو. اس. کلیر، ب. آن، تئوری مجموعه های فازی: اصاول و کارکردها، ترجمه محمدحسین فاضل زرندی، دانشگاه
. صنعتی امیرکبیر، 1393
4. ال. واناگ، سیستمهای فازی و کنترل فازی، ترجمه محمد تشنه لب، نیما صفارپور و داریوش افیونی، دانشگاه
. خواجه نصیرالدین طوسی، 1395
5. L. X. Wang, A Course in Fuzzy Systems and Control, 1996.
6. G. J. Klir, B. Yuan, Fuzzy Set and Fuzzy Logic: Theory and Application, 1995.
7. B. Bede, Mathematics of Fuzzy Sets and Fuzzy Logic, 2013
 

جلسه 1:  مجموعه‌های فازی

•  تعریف مجموعه‌های کلاسیک
• مفهوم و تعاریف اولیه مجموعه‌های فازی.
• تمایز بنیادی بین مجموعه‌های کلاسیک و فازی.

جلسه 2 : اتصالات اساسی

•  شمول: اصول شمول و نحوه نمایش آن.
•  اشتراک: گنجاندن ویژگی‌های اشتراک در مجموعه‌های فازی.
•  اتحاد: بررسی اتحاد و خواص آن.
•  تکمیل: مفهوم تکمیل و اثرات آن بر مجموعه‌های فازی.

جلسه 3: منطق فازی

• مقدمه‌ای بر منطق فازی و کاربردهای آن در تصمیم‌گیری.

جلسه 4: نقیض

• مفهوم نقیض در مجموعه‌های فازی و استفاده از آن.

جلسه 5و6: نرم های مثلثی و هم‌نرم ها

• تعریف و کاربردهای نرمال‌های مثلثی و هم‌نرمال‌ها در مجموعه‌های فازی.

جلسه 7: استلزام فازی

• معرفی و بررسی استلزام های فازی و کاربردهای آن‌ها.

جلسه 8: هم ارزی فازی

• اصول و مواردی که در حل هم ارزی فازی با استفاده از عملیات‌های فوق مؤثر است.

جلسه 9: روابط فازی

• تعریف و تحلیل روابط فازی.

جلسه 10: ترکیب ماکس-مین

• شیوه‌های ترکیب روابط فازی براساس اصل ماکس-مین.

جلسه 11: ترکیب مین-ماکس

• بررسی ترکیب مین-ماکس و کاربردهای آن.

جلسه 12: ترکیب مین →

• روش‌های ترکیب با استفاده از روابط مین به اشاره.

جلسه 13: تعریف اعداد فازی

• تعریف و خصوصیات اعداد فازی.

جلسه 14: قضایای شناسایی برای اعداد فازی

• بررسی قضایای اساسی در شناسایی اعداد فازی.

جلسه 15: اعداد فازی L-R

• مقدمه‌ای بر اعداد فازی L-R و ویژگی‌های آن‌ها.

جلسه 16: حساب فازی

جلسه 17: اصل توسعه زاده

• مفهوم و کاربرد اصل توسعه زاده در حساب فازی.

جلسه 18: جمع و ضرب عددهای فازی

• نحوه عمل جمع و ضرب با عددهای فازی.

جلسه 19: حاصلضرب دو عدد فازی

• بررسی ویژگی‌های حاصلضرب اعداد فازی و نتیجه‌گیری‌های کلیدی.

جلسه 20 تفاضل عددهای فازی

• معنای تفاوت و نحوه محاسبه آن در عددهای فازی.

جلسه 21: فضاهای متریک اعداد فازی

• بررسی ویژگی‌های فضاهای متریک مرتبط با اعداد فازی.

جلسه 22: اعداد فازی با نقاط انتهایی پیوسته مجموعه‌های تراز

• بررسی ویژگی‌های اعداد فازی با توجه به نقاط انتهایی پیوسته.

جلسه 23:  انتگرال‌گیری از توابع با مقادیر عدد فازی

• مطالعه روش‌های انتگرال‌گیری برای توابع که مقادیر آن‌ها عدد فازی است.

جلسه 24 و 25:  مشتق‌پذیری توابع با مقادیر عدد فازی

• بررسی اصول مشتق‌پذیری در توابع اعداد فازی با دو زیرعنوان:
  •  مشتق‌پذیری هاکوهارا
  •  مشتق‌پذیری‌های تعمیم‌یافته

جلسه 26: معادلات دیفرانسیل فازی تحت مشتق‌پذیری هاکوهارا

• بررسی معادلات دیفرانسیل فازی و خواص آن‌ها بر اساس مشتق‌پذیری هاکوهارا.

جلسه 27 و 28: تفسیر مبتنی بر اصل توسعه زاده

• بررسی تفاسیر ممکن از معادلات دیفرانسیل فازی بر مبنای اصل توسعه زاده.
•  مطالعه معادلات دیفرانسیل فازی به تفصیل با زیرمجموعه‌های:
  •  وجود و یکتایی دو راه‌حل
  •  نتایج ویژگی‌سازی
  •  مثال‌هایی از معادلات دیفرانسیل فازی تحت مشتق‌پذیری تعمیم‌یافته قوی

آشنایی با مفاهیم و مباحث منطق چند ارزش، منطق فازی و نظریه مجموعه های فازی و کاربرد آنها برای توصیف بخشی از مبحث
هوش مصنوعی و محاسبات نرم یعنی کنترل و استنتاج فازی