برنامه درسی

پروژه + پایان ترم

1. مبانی آنالیز عددی، دکتر علی عبدی و دکتر سیداحمد حسینی، انتشارات دانشگاه تبریز، چاپ دوم، 1400

2. حل عددی معادلات دیفرانسیل معمولی، دکتر غلامرضا حجتی و دکتر علی عبدی، انتشارات دانشگاه تبریز، 1400

هفته اول: خطاها (تعاریف، نمایش اعداد و دقت محاسبات)

هفته دوم: خطاها (حساسیت مساله و پایداری روش‌های عددی)

هفته سوم: حل عددی معادلات غیرخطی (مقدمه، روش تنصیف، روش نابجایی و مقایسه آن با روش تنصیف)

هفته چهارم: حل عددی معادلات غیرخطی (روش تکرار ساده و مرتبه همگرایی دنباله عددی)

هفته پنجم: حل عددی معادلات غیرخطی (روش ²∆-ایتکن، روش نیوتن و روش وتری)

هفته ششم: درونیابی  و تقریب توابع (مقدمه با ارائه چند مساله کاربردی از درونیابی و تقریب توابع، چندجمله‌ای درونیاب  با استفاده از روش تعیین ضرایب نامعین)

هفته هفتم: چندجمله‌ای درونیاب لاگرانژ، خطای چندجمله‌ای درونیاب، تفاضلات تقسیم شده و چندجمله‌ای درونیاب نیوتن

هفته هشتم: درونیابی با توابع اسپلاین

هفته نهم: مشتق‌گیری عددی (مقدمه، روش‌های مبتنی بر تفاضلات متناهی، روش‌های مبتنی بر درونیابی)

هفته دهم: مشتق‌گیری عددی (روش برونیابی ریچاردسون، روش‌های مبتنی بر روش تعیین ضرایب نامعین، فرمول‌های تقریبی برای مشتقات مراتب بالاتر)

هفته یازدهم: مشتق‌گیری عددی (تکنیک‌هایی برای انتخاب طول گام بهینه)

هفته دوازدهم: انتگرال‌گیری عددی (مقدمه و قواعد انتگرال‌گیری عددی مبتنی بر درونیابی)

هفته سیزدهم: انتگرال‌گیری عددی (قواعد نیوتن-کاتس و پایداری آنها، قواعد انتگرال‌گیری عددی مرکب)

هفته چهاردهم: انتگرال‌گیری عددی (روش انتگرال‌گیری رامبرگ، روش انتگرال‌گیری گاوسی)

هفته پانزدهم: روش‌هایی برای حل عددی معادلات دیفرانسیل معمولی

هفته شانزدهم: روش‌هایی برای حل عددی دستگاه معادلات خطی

میان ترم + پایان ترم

1. معادلات دیفرانسیل مقدماتی و مسائل مقدار مرزی، بویس و دیپرما، ترجمه دکتر علی اکبر عالم زاده، انتشارات علمی و فنی

2. معادلات دیفرانسیل و کاربرد آنها، سیمونز، ترجمه دکتر علی اکبر بابائی و دکتر ابوالقاسم میامئی، مرکز نشر دانشگاهی

3. معادلات دیفرانسیل، مسعود نیکوکار، انتشارات آزاده

هفته اول: تعاریف مقدماتی، ثابت‌های اساسی، تشکیل معادله دیفرانسیل، مسیرهای متعامد

هفته دوم: جواب‌های غیر عادی معادلات دیفرانسیل، پوش دسته منحنی، معادلات دیفرانسیل تفکیک‌پذیر، قالب‌بندی یک مساله کابردی (منحنی کشاننده) و حل آن

هفته سوم: معادلات دیفرانسیل همگن

هفته چهارم: معادلات دیفرانسیل کامل

هفته پنجم: عامل انتگرال‌ساز و به دست آوردن معادله کلی برای آنها، قالب‌بندی یک مساله کاربردی از یک آینه مقعر و حل آن

هفته ششم: معادلات دیفرانسیل خطی مرتبه اول، حل معادلات مرتبه اول ضمنی (که نسبت به مشتق حل نشده‌اند)

هفته هفتم: معادلات دیفرانسیل مرتبه دوم و بالاتر (روش‌های کاهش مرتبه، قالب‌بندی یک مساله کاربردی (مساله سگ-خرگوش) و حل آن)

هفته هشتم: معادلات دیفرانسیل مرتبه دوم و بالاتر (استقلال خطی توابع، رونسکین توابع و ارتباط آن با استقلال خطی توابع، جواب‌های اساسی معادلات خطی همگن با ضرایب ثابت)

هفته نهم: یافتن جواب عمومی معادلات خطی همگن (از مرتبه دوم و مرتبه دلخواه n) با ضرایب ثابت

هفته دهم: به‌دست آوردن جواب خصوصی (و جواب عمومی) معادلات خطی غیرهمگن (از مرتبه دوم و مرتبه دلخواه n) با ضرایب ثابت (استفاده از روش تعیین ضرایب نامعین)

هفته یازدهم: روشی کلی‌تر برای یافتن جواب عمومی معادلات خطی غیرهمگن (روش تغییر پارامترها)، استفاده از یک جواب معلوم برای یافتن جوابی دیگر، معادله کشی از مرتبه

هفته دوازدهم: تبدیل لاپلاس و کاربردهای آن

هفته سیزدهم: تبدیل لاپلاس و کاربردهای آن (ادامه)

هفته چهاردهم: تبدیل لاپلاس و کاربردهای آن (ادامه)

هفته پانزدهم: حل معادلات با استفاده از سری‌ها (یادآوری از سری‌های توانی و حل معادلات دیفرانسیل به کمک آنها، جواب‌ معادلات دیفرانسیل حول نـقاط عادی، معادله لـژاندر و چنـدجـمله‌ای‌های لژاندر)

هفته شانزدهم: حل معادلات با استفاده از سری‌ها (جواب‌ معادلات دیفرانسیل حول نقاط غیر عادی، روش فروبنیوس، تابع گاما، معادله بسل، و خواص تابع بسل.

پایان ترم + پروژه

1. A. Quarteroni, R. Sacco, F. Saleri, Numerical Mathematics, Springer (2000)

2. B.N. Datta, Numerical Linear Algebra and Applications, Brooks/Cole Publishing (1995)

هفته اول: تعاریف مقدماتی، حل دستگاه معادلات خطی با استفاده از روش کرامر و به‌دست آوردن هزینه محاسباتی آن

هفته دوم: حل مستقیم دستگاه‌های خطی مثلثی با الگوریتم جایگذاری پسرو و پیشرو و هزینه‌های محاسباتی آنها، روش حذفی گاوس (GEM) برای حل دستگاه معادلات خطی

هفته سوم: لزوم استفاده از محورگیری در الگوریتم GEM و معرفی و تجزیه و تحلیل انواع مختلف آن (محورگیری ستونی ماکزیمال یا محورگیری جزئی، محورگیری جزئی مقیاس شده، محورگیری کامل)

هفته چهارم: محاسبه تعداد اعمال حسابی برای حل دستگاه معادلات خطی با GEM، روش گاوس-جردن برای حل دستگاه معادلات خطی، محاسبه تعداد اعمال حسابی برای حل دستگاه معادلات خطی با روش گاوس-جردن، روش گاوس-جردن برای یافتن معکوس ماتریس، حل دستگاه معادلات خطی سه-قطری

هفته پنجم: تجزیه LU در دو نوع (تجزیه دولیتل و تجریه کروت) برای ماتریس و استفاده از آن ها برای حل دستگاه معادلات خطی

هفته ششم:GEM  به عنوان یک تجزیه (به‌دست آوردن تجریه LU با استفاده از GEM)، مطالعه تجزیه LU برای ماتریس‌های غالب قطری سطری اکید

هفته هفتم: مطالعه GEM و تجریه چولسکی برای ماتریس‌های معین مثبت اکید، محاسبه تعداد اعمال حسابی مورد نیاز برای تجزیه چولسکی

هفته هشتم: نرم‌های برداری و ماتریسی، حالت (خوش حالتی و بد حالتی) دستگاه معادلات خطی

هفته نهم: محاسبه کران بالا برای خطای نسبی مربوط به جواب‌ دستگاه معادلات خطی پریشیده، مطالعه بردار مانده، سری نویمان و کاربرد آن در محاسبه تقریبی برای معکوس ماتریس

هفته دهم: حل دستگاه معادلات خطی با روش‌های تکراری ژاکوبی، گاوس-سایدل و روش ریچاردسون و همچنین بررسی شرایط کافی برای همگرایی آنها

هفته یازدهم: روش تکراری JOR و SOR  و بررسی شرایط همگرایی آنها

هفته دوازدهم: محاسبه مقادیر ویژه و بردارهای ویژه یک ماتریس، قضیه دوایر گرشگورین و تجزیه شور

هفته سیزدهم: روش تکراری توانی برای محاسبه مقادیر ویژه و بردارهای ویژه یک ماتریس

هفته چهاردهم: تجزیه‌های متعامد و مسائل کمترین مربعات (حل عددی دستگاه‌های غیرمربع، معادلات نرمال و حل عددی آنها)

هفته پانزدهم: ماتریس‌های تبدیل هاوسهولدر و روش تکراری QR

هفته شانزدهم: تجزیه مقادیر تکین و معکوس تعمیم یافته (شبه معکوس)